確率分布の再生性とは

確率分布の再生性とは、同一分布に従う複数の独立な確率変数の和が元の分布に従うという性質です。数ある確率分布の中でも一部の確率分布が再生性を持ちます。

再生性を持つ確率分布

以下の確率分布は再生性を持つことが知られています。

• 正規分布
• 二項分布
• ポアソン分布
• ガンマ分布
• カイ二乗分布

正規分布

確率変数 X と Y が次のようにそれぞれ正規分布に従い、互いに独立であるとします。

X \sim N(\mu_1, \sigma^2_1),\quad Y \sim N(\mu_2, \sigma^2_2)

このとき、X + Y は以下の正規分布に従います。

X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma^2_1 + \sigma^2_2)

二項分布

確率変数 X と Y が次のようにそれぞれ二項分布に従い、互いに独立であるとします。

X \sim B(n_1, p), \quad Y \sim B(n_2, p)

このとき、X + Y は以下の二項分布に従います。

X + Y \sim B(n_1 + n_2, p)

ポアソン分布

確率変数 X と Y が次のようにそれぞれポアソン分布に従い、互いに独立であるとします。

X \sim Po(\lambda_1), \quad Y \sim Po(\lambda_1)

このとき、X + Y は以下のポアソン分布に従います。

X + Y \sim Po(\lambda_1 + \lambda_2)

ガンマ分布

確率変数 X と Y が次のようにそれぞれガンマ分布に従い、互いに独立であるとします。

X \sim Ga(\alpha_1, \beta), \quad Y \sim Ga(\alpha_2, \beta)

このとき、X + Y は以下のガンマ分布に従います。

X + Y \sim Ga(\alpha_1 + \alpha_2, \beta)

カイ二乗分布

確率変数 X と Y が次のようにそれぞれカイ二乗分布に従い、互いに独立であるとします。

X \sim \chi^2(n_1),\quad Y \sim \chi^2(n_2)

このとき、X + Y は以下のカイ二乗分布に従います。

X + Y \sim \chi^2(n_1 + n_2)