条件付き確率分布とは

条件付き確率分布とは、確率変数 X と Y があり、X が特定の値であることを前提とした Y の確率分布です。言い換えると、事象 X が起こったという前提で事象 Y が起こる確率分布になります。例えば、サイコロを2回振り、1回目に6の目が出たとして、出た目の合計が9になる確率が条件付き確率になります。

条件付き確率分布は P(Y\mid X) や P_X(Y) のように表されます。

条件付き離散確率分布

離散確率変数の場合、条件付き確率分布は以下のような式で定義されます。

{\displaystyle P(Y\mid X)={\frac {P(X \cap Y)}{P(X)}}}

P(X,Y) は X と Y の同時確率分布、P(X) は周辺確率分布になります。

例として、ある夫婦に2人の子供がいて2人のうち少なくても1人は女の子であることが分かっているとします。このとき2人とも女の子である確率を求めます。

少なくとも1人は女の子である確率は \frac{3}{4} になります。

P(X) = \frac{3}{4}

2人とも女の子である確率は \frac{1}{4} になります。

P(X \cap Y) = \frac{1}{4}

よって、2人とも女の子である確率は \frac{1}{3} になります。

P(Y\mid X)={\frac {P(X \cap Y)}{P(X)}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}

条件付き連続確率分布

連続確率変数の場合、条件付き確率分布は以下のような式で定義されます。

{\displaystyle f(y\mid x)={\frac {f(x,y)}{f(x)}}}, \quad f(x)>0

f(x,y) は X と Y の同時確率分布、f(x) は周辺確率分布になります。