同時確率分布とは

同時確率分布とは、複数の事象が同時に起こる確率の分布です。

例えば、2つの事象 X と Y の同時確率は P(X,Y) もしくは P(X \cap Y) と表され、3つの事象 X、 Y、 Z の同時確率は P(X,Y,Z) もしくは P(X \cap Y \cap Z) と表されます。

確率変数が離散である場合には離散同時確率分布、連続である場合には連続同時確率分布となります。

離散同時確率分布

ある小学校のクラスの血液型が以下の分布であるとします。

X\Y	A 型	B 型	O 型	AB 型
男子	0.25	0.10	0.10	0.05
女子	0.20	0.20	0.05	0.05

事象 X を男子か女子か、事象 Y を血液型として考えると、事象 X が女子かつ事象 Y がO型となる同時確率は0.10になります。

連続同時確率分布

連続確率変数 X、Y の同時確率分布は以下の式で表されます。

P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d) = \int^b_a \int^d_c f(x, y)dxdy

確率の総和は1なので、以下の式が成り立ちます。

\int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} f(x, y)dxdy = 1

例として、以下の確率密度関数を考えます。

f(x, y) = \left\{ \begin{array}{ll} x+y & (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1) \\ 0 & (otherwise) \end{array} \right.

0 \leq x \leq \frac{1}{2}、0 \leq y \leq \frac{1}{2} となる確率 P(0 \leq x \leq \frac{1}{2}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}) は以下のように求めることができます。

\begin{aligned} P(0 \leq x \leq \frac{1}{2}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}) &= \int^{\frac{1}{2}}_{0} \int^{\frac{1}{2}}_{0} (x+y)dxdy \\ &= \int^{\frac{1}{2}}_{0}[\frac{1}{2}x^2 + yx]_0^{\frac{1}{2}} dy \\ &= \int^{\frac{1}{2}}_{0}(\frac{1}{8} + \frac{1}{2}y)dy \\ &=[\frac{1}{8}y + \frac{1}{4}y^2]^{\frac{1}{2}}_0 \\ &= \frac{1}{8} \end{aligned}

参考

https://bellcurve.jp/statistics/course/18401.html