2022-12-09

カテゴリカル分布

Statistics

Probability Distribution

Python

カテゴリカル分布とは

カテゴリカル分布とは、１回の試行で $K$ 通りの事象 $X_1, X_2, ..., X_K$ がそれぞれ確率 $p_1, p_2, ..., p_K$ で得られるときに確率変数 $X$ が従う確率分布です。

カテゴリカル分布はベルヌーイ分布を $K$ 次元に拡張した確率分布となっています。ベルヌーイ分布では事象は2つ（ $K=2$ ）ですが、サイコロの目の数のような事象の数が6個（ $K=6$ ）、つまり多次元の場合はカテゴリカル分布になります。

カテゴリカル分布の確率は以下の式で表されます。

P(X=x;p_1, p_2, ...,p_K) = \prod_{k=1}^K p^{x_k}_k

x_k \in \{0,1\}, \quad \sum_{k=1}^{K} x_k=1

カテゴリカル分布は $Categorical(p)$ と表記されることもあります。

カテゴリカル分布の期待値と分散

カテゴリカル分布の期待値、分散はそれぞれ以下になります。

E(X_k)=p_k \quad (k=1,2,...,K)

V(X_k)=p_k(1-p_k) \quad (k=1,2,...,K)

Python でカテゴリカル分布を確認

Pythonでカテゴリカル分布を確認してみます。

まずはサイコロ（ $K=6$ ）の例を考えます。サイコロの出る目の確率はそれぞれ $\frac{1}{6}$ として、6000回の試行を行います。以下がPythonコードになります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(facecolor="w", figsize=(10, 5))

p = [1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6]

data = np.random.choice([1,2,3,4,5,6], p=p, size=6000)
plt.hist(data, bins = [0.5 + v for v in range(len(p) + 1)], alpha=0.5)

Categorical distribution | 1

どの目も出現回数が1000程度になっていることが分かります。

次に、 $K=4$ の事象があり、それぞれの確率が $\frac{2}{10}$ 、 $\frac{1}{10}$ 、 $\frac{5}{10}$ 、 $\frac{2}{10}$ であるとします。この事象の観察を10000回行います。いかがPythonコードになります。

カテゴリカル分布

カテゴリカル分布とは

カテゴリカル分布の期待値と分散

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多項分布

Ryusei Kakujo