Apa itu distribusi-t

Distribusi-t adalah distribusi probabilitas yang diikuti oleh rata-rata sampel \bar{X} yang distandarisasi oleh deviasi standar sampel.

Jika rata-rata populasi adalah \mu dan standar deviasi adalah \sigma, distribusi rata-rata sampel menjadi distribusi normal dengan rata-rata \mu dan varians \frac{\sigma^2}{n}$ dari [central limit theorem] (/en/articles/central-limit-theorem). Nilai z, yang merupakan nilai standar dari rata-rata sampel, adalah sebagai berikut:

[Pengujian hipotesis] (/id/articles/hypothesis-testing) dilakukan berdasarkan distribusi normal standar, yang merupakan distribusi yang diikuti oleh persamaan di atas. Namun, standar deviasi \sigma dari populasi dalam persamaan di atas biasanya merupakan nilai yang tidak diketahui. Oleh karena itu, kita menggunakan standar deviasi sampel s sebagai pengganti \sigma. Oleh karena itu, kita akan mempertimbangkan distribusi berikut yang diikuti t.

s^2 juga disebut varians tak bias. Distribusi yang diikuti oleh persamaan di atas t adalah distribusi-t. Dengan kata lain, distribusi-t adalah distribusi alternatif dari distribusi normal standar.

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi-t dinyatakan dengan persamaan berikut:

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi-t ditentukan oleh bentuk distribusi dengan hanya derajat kebebasan (n). Grafik dari distribusi-t dengan 1 sampai 10 derajat kebebasan terlihat seperti ini.

Seiring dengan meningkatnya derajat kebebasan n, distribusi mendekati distribusi normal standar.

Jadi, jika n cukup besar, distribusi-t dapat digunakan sebagai proksi untuk distribusi normal standar dalam pengujian hipotesis di mana varians populasi tidak diketahui. Tes ini disebut uji-t.

Nilai yang diharapkan dan varians dari distribusi-t

Nilai yang diharapkan dan varians dari distribusi-t masing-masing adalah:

tabel distribusi-t (sisi atas)

Karena distribusi-t hanya memiliki parameter n, probabilitas distribusi-t dapat dirangkum dalam sebuah tabel yang disebut tabel distribusi-t. Di bawah ini adalah tabel distribusi-t yang merangkum derajat kebebasan dari distribusi-t yang mana probabilitas sisi atas \alpha masing-masing sama dengan 0.1, 0.05, 0.025, 0.01 dan 0.005.

Misalnya, jika Anda ingin menemukan titik 5% atas dari distribusi-t dengan 20 derajat kebebasan, cari nilai di persimpangan $ n = 20 $ dan $ alpha = 0,05 $. Dengan demikian, titik 5% atas yang Anda cari adalah 1,725.

Kode Python

Berikut ini adalah kode Python yang digunakan untuk menggambar distribusi-t.

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(facecolor="w", figsize=(10, 5))

x = np.linspace(-4, 4, 100)
z = stats.norm.pdf(x, loc=0, scale=1)

for df in range(1, 11):
    t = stats.t.pdf(x, df)
    plt.plot(x, t, label=f"t dist(df={df})")
plt.legend()

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(facecolor="w", figsize=(10, 5))

x = np.linspace(-4, 4, 100)
z = stats.norm.pdf(x, loc=0, scale=1)

for df in [1, 5, 10]:
    t = stats.t.pdf(x, df)
    plt.plot(x, t, label=f"t dist(df={df})")
plt.plot(x, z, label='Std norm dist', linewidth=4)
plt.legend()