Apa itu distribusi probabilitas marjinal
Distribusi probabilitas marjinal adalah distribusi probabilitas di mana salah satu variabel acak dieliminasi dari distribusi probabilitas bersama. Misalnya, probabilitas marjinal X adalah probabilitas bahwa peristiwa X akan terjadi terlepas dari peristiwa lainnya.
Untuk variabel acak diskrit, distribusi probabilitas marjinal dinyatakan dengan persamaan berikut:
{\displaystyle P(X)=\sum _{y}P(X,Y)}
Untuk variabel acak kontinu, distribusi probabilitas marjinal dinyatakan dengan persamaan berikut:
{\displaystyle f_(x)=\int_{y}f(x,y)\,\mathrm {d} y}
Sebagai contoh distribusi marjinal dari variabel acak diskrit, saya akan menggunakan distribusi golongan darah anak laki-laki dan perempuan dalam satu kelas sekolah dasar berikut ini.
| X\Y |
Tipe A |
Tipe B |
Tipe O |
Tipe AB |
| Laki-laki |
0.25 |
0.10 |
0.10 |
0.05 |
| Perempuan |
0.20 |
0.20 |
0.05 |
0.05 |
Probabilitas total jenis kelamin dan golongan darah kemudian dapat dihitung sebagai berikut.
| X\Y |
Tipe A |
Tipe B |
Tipe O |
Tipe AB |
Jumlah |
| Laki-laki |
0.25 |
0.10 |
0.10 |
0.05 |
0.50 |
| Perempuan |
0.20 |
0.20 |
0.05 |
0.05 |
0.50 |
| Jumlah |
0.45 |
0.30 |
0.15 |
0.10 |
1.00 |
The sum of these values is the marginal probability. Each of these marginal probabilities is shown below.
P(lakilaki)=0.50 \\
P(perempuan)=0.50 \\
P(tipe A)=0.45 \\
P(tipe B)=0.30 \\
P(tipe O)=0.15 \\
P(tipe AB)=0.10
Kemandirian variabel acak
Kita dapat mengatakan bahwa X dan Y independen satu sama lain ketika variabel acak X dan Y tidak saling mempengaruhi. Independensi ditentukan oleh apakah probabilitas bersama dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari probabilitas marjinal. Berikut ini adalah penjelasan dari kasus variabel acak diskrit dan kontinu, masing-masing.
Kasus variabel acak diskrit
Kita dapat mengatakan bahwa X dan Y independen jika variabel acak diskrit X dan Y memenuhi kondisi berikut:
Sebagai contoh, misalkan kita memiliki distribusi probabilitas bersama berikut untuk variabel acak X dan Y.
| X\Y |
1 |
2 |
3 |
| 0 |
0.10 |
0.10 |
0.20 |
| 1 |
0.20 |
0 |
0 |
| 2 |
0.10 |
0.10 |
0.20 |
Probabilitas marjinal masing-masing adalah sebagai berikut.
P(X=0)=0.40 \\
P(X=1)=0.20 \\
P(X=2)=0.40 \\
P(Y=1)=0.40 \\
P(Y=2)=0.20 \\
P(Y=3)=0.40
Oleh karena itu, P(X=0, Y=1) = 0.10 dan P(X=0)P(Y=1) = 0.16 Kita tahu bahwa X dan Y tidak independen karena hasil kali dari probabilitas simultan dan marginal tidak cocok.
Kasus variabel acak kontinu
Kita dapat mengatakan bahwa X$ dan Y independen jika fungsi densitas probabilitas dari variabel acak kontinu X dan Y memenuhi yang berikut ini:
Sebagai contoh, misalkan ada fungsi densitas probabilitas berikut ini untuk probabilitas bersama:
f(x, y) = \left\{
\begin{array}{ll}
4xy & (0 < x < 1, 0 < y < 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right.
Untuk 0 < x < 1, f(x) menjadi
\begin{aligned}
f(x) &= \int^{1}_{0} f(x,y) \mathrm{d} y \\
&= \int^{1}_{0} 4xy \mathrm{d} y \\
&= 2x
\end{aligned}
Dengan demikian f(x) menjadi
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
2x & (0 < y < 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right.
Demikian pula, f(y) menjadi
f(y) = \left\{
\begin{array}{ll}
2y & (0 < y < 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right.
Jadi, untuk 0 < x < 1, 0 < y < 1, kita bisa mengatakan bahwa x dan y adalah independen karena
Selanjutnya, mari kita pertimbangkan fungsi densitas probabilitas berikut untuk probabilitas bersama:
f(x, y) = \left\{
\begin{array}{ll}
x+y & (0 < x < 1, 0 < y < 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right.
f(x) dan f(y) masing-masing adalah sebagai berikut.
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x + \frac{1}{2} & (0 < y < 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right.
f(y) = \left\{
\begin{array}{ll}
y + \frac{1}{2} & (0 < y < 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right.
Untuk 0 < x < 1, 0 < y < 1, f(x,y) \neq f(x)f(y), jadi x dan y tidak independen.
