Apa itu distribusi probabilitas bersama
Distribusi probabilitas gabungan adalah distribusi probabilitas dua atau lebih peristiwa yang terjadi secara bersamaan.
Misalnya, probabilitas gabungan dari dua peristiwa X dan Y direpresentasikan sebagai P(X,Y) atau P(X \cap Y), dan probabilitas gabungan dari tiga peristiwa X, Y dan Z direpresentasikan sebagai P(X,Y,Z) atau P(X \cap Y \cap Z).
Ketika variabel acak diskrit, distribusinya adalah distribusi probabilitas bersama diskrit; ketika mereka kontinu, distribusinya adalah distribusi probabilitas bersama yang berkelanjutan.
Distribusi probabilitas bersama diskrit
Misalkan golongan darah dari suatu kelas sekolah dasar tertentu memiliki distribusi sebagai berikut:
| X\Y |
Tipe A |
Tipe B |
Tipe O |
Tipe AB |
| Laki-laki |
0.25 |
0.10 |
0.10 |
0.05 |
| perempuan |
0.20 |
0.20 |
0.05 |
0.05 |
Mempertimbangkan peristiwa X sebagai anak laki-laki atau perempuan dan peristiwa Y sebagai golongan darah, probabilitas bersama bahwa peristiwa X adalah anak perempuan dan peristiwa Y adalah tipe O adalah 0.10.
Distribusi probabilitas bersama kontinu
Distribusi probabilitas bersama dari variabel acak kontinu X dan Y dinyatakan sebagai berikut:
P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d) = \int^b_a \int^d_c f(x, y)dxdy
Karena jumlah probabilitas adalah 1, persamaan berikut berlaku
\int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} f(x, y)dxdy = 1
Sebagai contoh, perhatikan fungsi densitas probabilitas berikut ini:
f(x, y) = \left\{
\begin{array}{ll}
x+y & (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right.
Probabilitas P(0 \leq x \leq \frac{1}{2}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}) dengan 0 \leq x \leq \frac{1}{2} dan 0 \leq y \leq \frac{1}{2} dapat diperoleh sebagai berikut.
\begin{aligned}
P(0 \leq x \leq \frac{1}{2}, 0 \leq y \leq \frac{1}{2}) &= \int^{\frac{1}{2}}_{0} \int^{\frac{1}{2}}_{0} (x+y)dxdy \\
&= \int^{\frac{1}{2}}_{0}[\frac{1}{2}x^2 + yx]_0^{\frac{1}{2}} dy \\
&= \int^{\frac{1}{2}}_{0}(\frac{1}{8} + \frac{1}{2}y)dy \\
&= [\frac{1}{8}y + \frac{1}{4}y^2]^{\frac{1}{2}}_0 \\
&= \frac{1}{8}
\end{aligned}
