Apa itu distribusi probabilitas bersyarat

Distribusi probabilitas bersyarat adalah distribusi probabilitas $Y$ yang mengasumsikan bahwa ada variabel acak $X$ dan $Y$ dan bahwa $X$ adalah nilai tertentu. Dengan kata lain, ini adalah distribusi probabilitas di mana peristiwa $Y$ terjadi dengan asumsi bahwa peristiwa $X$ telah terjadi. Misalnya, jika Anda melempar dadu dua kali dan mendapatkan angka 6 pada lemparan pertama, probabilitas bersyaratnya adalah probabilitas bahwa jumlah lemparan akan menjadi 9.

Distribusi probabilitas bersyarat direpresentasikan sebagai $P(Y\mid X)$ atau $P_X(Y)$.

Distribusi probabilitas diskrit bersyarat

Untuk variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersyarat didefinisikan oleh persamaan berikut:

$${\displaystyle P(Y\mid X)={\frac {P(X \cap Y)}{P(X)}}}$$

$P(X,Y)$ adalah distribusi probabilitas bersama dari $X$ dan $Y$ dan $P(X)$ adalah distribusi probabilitas marginal.

Sebagai contoh, misalkan sepasang suami-istri memiliki dua orang anak dan setidaknya salah satu dari mereka diketahui berjenis kelamin perempuan. Dalam kasus ini, probabilitas bahwa kedua anak tersebut adalah perempuan ditentukan.

Probabilitas bahwa setidaknya salah satu dari mereka adalah perempuan adalah $\frac{3}{4}$.

$$P(X) = \frac{3}{4}$$

Probabilitas bahwa mereka berdua adalah perempuan adalah $\frac{1}{4}$.

$$P(X \cap Y) = \frac{1}{4}$$

Dengan demikian, probabilitas bahwa mereka berdua adalah perempuan adalah $\frac{1}{3}$.

$$P(Y\mid X)={\frac {P(X \cap Y)}{P(X)}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$$

Distribusi probabilitas kontinu bersyarat

Untuk variabel acak kontinu, distribusi probabilitas bersyarat didefinisikan oleh persamaan berikut:

$${\displaystyle f(y\mid x)={\frac {f(x,y)}{f(x)}}}, \quad f(x)>0$$

$f(x,y)$ adalah distribusi probabilitas bersama dari $X$ dan $Y$, dan $f(x)$ adalah distribusi probabilitas marjinal.