2022-11-22

Teorema limit pusat

Apa itu Teorema Limit Pusat

Teorema limit pusat menyatakan bahwa distribusi rata-rata sampel $\overline{X}_n$ dari sampel yang dipilih secara acak dari populasi dengan rata-rata $\mu$ dan varians $\sigma^2$ kira-kira mengikuti distribusi normal dengan rata-rata $\mu$ dan varians $\frac{\sigma^2}{n}$ ketika ukuran sampel $n$ cukup besar.

Hal yang luar biasa dari teorema ini adalah bahwa hal itu dapat didekati oleh distribusi normal terlepas dari distribusi populasinya. Tidak peduli apa distribusi probabilitas aslinya, jika $n$ besar, rata-rata sampel akan selalu mendekati distribusi normal.

Penting untuk dicatat bahwa itu adalah distribusi rata-rata sampel yang dapat mendekati distribusi normal, bukan distribusi sampel itu sendiri yang diambil dari populasi. Distribusi rata-rata sampel adalah distribusi yang dibentuk oleh nilai rata-rata ketika proses pengambilan sampel dari populasi dan menemukan rata-ratanya diulang berkali-kali.

Periksa Teorema Limit Pusat dalam Python

Contoh dadu

Let's experiment with the distribution of the total number of dice thrown N (1, 2, 5, 10, 50, 100) times. The dice follow a uniform distribution since the probability of getting any number from 1 to 6 is equal to $\frac{1}{6}$ . The following is the code.

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
#%matplotlib inline

sns.set()
sns.set_context(rc = {'patch.linewidth': 0.2})
sns.set_style('dark')

numIterations = np.asarray([1,2,5,10,50,100]); #number of i.i.d RVs
experiment = 'dice' #valid values: 'dice', 'coins'
maxNumForExperiment = {'dice':6,'coins':2} #max numbers represented on dice or coins
nSamp=100000

k = maxNumForExperiment[experiment]

fig, fig_axes = plt.subplots(ncols=3, nrows=2, constrained_layout=True, figsize=(12,8))

for i,N in enumerate(numIterations):
    y = np.random.randint(low=1,high=k+1,size=(N,nSamp)).sum(axis=0)
    row = i//3;col=i%3;
    bins=np.arange(start=min(y),stop=max(y)+2,step=1)
    fig_axes[row,col].hist(y,bins=bins,density=True)
    fig_axes[row,col].set_title('N={} {}'.format(N,experiment))
plt.show()

dice

Ketika N meningkat (yaitu, ukuran sampel yang akan diekstraksi meningkat), distribusi nilai total dadu (distribusi rata-rata sampel) mendekati distribusi normal.

Selanjutnya, mari kita bereksperimen dengan distribusi nilai rata-rata dadu yang dilempar sebanyak N (1, 2, 5, 10, 50, 100) kali.

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
#%matplotlib inline

sns.set()
sns.set_context(rc = {'patch.linewidth': 0.2})
sns.set_style('dark')

numIterations = np.asarray([1,2,5,10,50,100]); #number of i.i.d RVs
experiment = 'coins' #valid values: 'dice', 'coins'
maxNumForExperiment = {'dice':6,'coins':2} #max numbers represented on dice or coins
nSamp=100000

k = maxNumForExperiment[experiment]

for i,N in enumerate(numIterations):
    y = np.random.randint(low=1,high=k +1,size=(N,nSamp)).sum(axis=0)/N
    row = i//3;col=i%3;
    bins=np.arange(start=1,stop=7,step=0.1)
    fig_axes[row,col].hist(y,bins=bins,density=True)
    fig_axes[row,col].set_title('N={} {}'.format(N,experiment))
plt.show()

dice mean

Kita dapat melihat bahwa dengan bertambahnya N, distribusi rata-rata lemparan dadu mendekati distribusi normal. Juga, karena varians dari rata-rata sampel adalah $\frac{\sigma^2}{n}$ , kita melihat bahwa varians menurun seiring dengan meningkatnya N.

Contoh koin

Mari kita bereksperimen dengan distribusi nilai total dari sebuah koin yang dilempar sebanyak N (1, 2, 5, 10, 50, 100) kali, dengan 1 untuk kepala dan 2 untuk ekor. Probabilitas koin menjadi kepala atau ekor sama dengan $\frac{1}{2}$ , jadi kita mengikuti distribusi Bernoulli. Berikut ini adalah kodenya.

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
#%matplotlib inline

sns.set()
sns.set_context(rc = {'patch.linewidth': 0.2})
sns.set_style('dark')

numIterations = np.asarray([1,2,5,10,50,100]); #number of i.i.d RVs
experiment = 'coins' #valid values: 'dice', 'coins'
maxNumForExperiment = {'dice':6,'coins':2} #max numbers represented on dice or coins
nSamp=100000

k = maxNumForExperiment[experiment]

fig, fig_axes = plt.subplots(ncols=3, nrows=2, constrained_layout=True, figsize=(12,8))

for i,N in enumerate(numIterations):
    y = np.random.randint(low=1,high=k+1,size=(N,nSamp)).sum(axis=0)
    row = i//3;col=i%3;
    bins=np.arange(start=min(y),stop=max(y)+2,step=1)
    fig_axes[row,col].hist(y,bins=bins,density=True)
    fig_axes[row,col].set_title('N={} {}'.format(N,experiment))
plt.show()

coins

Ketika N meningkat (yaitu, ukuran sampel yang akan diekstraksi meningkat), distribusi jumlah nilai koin (distribusi rata-rata sampel) mendekati distribusi normal.

Selanjutnya, mari kita bereksperimen dengan distribusi nilai rata-rata mata yang muncul ketika koin dilempar sebanyak N (1, 2, 5, 10, 50, 100) kali.

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
#%matplotlib inline

sns.set()
sns.set_context(rc = {'patch.linewidth': 0.2})
sns.set_style('dark')

numIterations = np.asarray([1,2,5,10,50,100]); #number of i.i.d RVs
experiment = 'coins' #valid values: 'dice', 'coins'
maxNumForExperiment = {'dice':6,'coins':2} #max numbers represented on dice or coins
nSamp=100000

k = maxNumForExperiment[experiment]

for i,N in enumerate(numIterations):
    y = np.random.randint(low=1,high=k +1,size=(N,nSamp)).sum(axis=0)/N
    row = i//3;col=i%3;
    bins=np.arange(start=1,stop=3,step=0.1)
    fig_axes[row,col].hist(y,bins=bins,density=True)
    fig_axes[row,col].set_title('N={} {}'.format(N,experiment))
plt.show()

coins mean

Dengan bertambahnya N, kita melihat bahwa distribusi rata-rata nilai koin mendekati distribusi normal. Juga, karena varians dari rata-rata sampel adalah $\frac{\sigma^2}{n}$ , kita melihat bahwa varians menurun seiring dengan meningkatnya N.

Teorema limit pusat

Apa itu Teorema Limit Pusat

Periksa Teorema Limit Pusat dalam Python

Contoh dadu

Contoh koin

Referensi

i.i.d.

Aturan 68-95-99,7 dalam Distribusi Normal

Ryusei Kakujo